三角形的誤差傳撥定律

[Dior]

加入土木人討論區粉絲團

三角形中已知a.B兩角,及一夾邊C為,
a=37度±6秒 B=45度±14秒 C=100M ±0.001M
試求三角形面積之標準誤差


解答:±0.15 M^2

想請問這提該怎麼算呢

謝謝

[haha99]

感謝...jhc2 & acgn33 大大的提示，小弟的算法如下，可能有哪地方觀念或算法有誤，
還墾請各聰慧的大大提點:
相似題目:092年交通事業公路人員升資考試 土木工程(佐級晉員級) 測量學概要

方法:<1>
設三角形的高為邊AB 垂直 角C之h，邊AB垂直 角C與邊AB交點為D，∠A=37°=α，∠B=45°=β，
三角形的底為夾邊 C=100M=邊BD+邊AD，邊BD為X，AD邊為100M-X，
依題目設 夾邊 C中誤差σc= ±0.001M，設邊BD的中誤差σx，
由三角函數可知：
tanβ= h/X => h = X*tanβ (1)
tanα= h/C-X => h = (C-X)*tanα (2)
將(1),(2)式 合併得
X*tanβ= (C-X)*tanα= C*tanα-X*tanα=> X(tanα+tanβ) = C*tanα
=> X = C*tanα/(tanα+tanβ) => X=100tan37°/tan45°+tan37°= 42.97295826 ≒42.973 M = h
(好像沒偏微分的符號,故以下皆用"ψ"表 偏微分)
依比例分配(由acgn33大大所言，可知誤差是不可依比例分配，而是需用誤差傳播定律去求得)(感謝acgn33 大大的提示)
故不能變成 C/σc=X/σx =>σx=X*σc/C
=>σx=±((ψσx/ψX)^2*(σx)^2+(ψσx/ψσc)^2*(σc)^2+(ψσx/ψc)^2*(σc))^2
(上一列式是啥碗糕!?當然是錯的，要改正為下一列式)
=>σx=±((ψX/ψC)^2*(σc)^2+(ψX/ψα)^2*(σα)^2+(ψX/ψβ)^2*(σβ)^2)^1/2
(但太複雜且易出錯，故放棄 方法:<1>)

方法:<2>(請參考 092年交通事業公路人員升資考試 土木工程(佐級晉員級) 測量學概要 三、此題圖形)
依題目所給 夾邊 c中誤差σc= ±0.001M，σα=±6"，σβ=±14"
α=37°，β=45°，設γ=180°-α-β=98°
依正弦定理 b/sinβ = c/sinγ => b = c*sinβ/sinγ = c*sinβ/sin(180°-α-β)
三角形面積F = 1/2*b*c*sinα = 1/2*c*sinβ/sin(180°-α-β)*c*sinα = 1/2*c^2*sinα*sinβ/sin(180°-α-β)
依誤差傳播定律 (好像沒偏微分的符號,故以下皆用"ψ"表 偏微分)
三角形面積的中誤差為
σF=±((ψF/ψc)^2*(σc)^2+(ψF/ψα)^2*(σα)^2+(ψF/ψβ)^2*(σβ)^2)^1/2
=±((c*sinα*sinβ/sinγ)^2*(0.001)^2+(1/2*c^2*(cosα*sinβ*sinγ+sinα*sinβ*cosγ)/sinγ^2)^2*(6"/206265")^2)+(1/2*c^2*(sinα*cosβ*sinγ+sinα*sinβ*cosγ)/sinγ^2)^2*(14"/206265")^2)
=±(0.00184825+0.00550727+0.01572878)^1/2
=±0.15193 M^2
p.s:因 ψsinγ/ψα = cosγ*(ψ(180°-α-β)/ψα) = cosγ*(-1) = -cosγ
ψsinγ/ψβ = cosγ*(ψ(180°-α-β)/ψβ) = cosγ*(-1) = -cosγ
故為+ 而非-(感謝acgn33 大大的提示)

[jhc2]

閣下的σx=±0.001m，是怎麼來的呢？

[acgn33]

你x中誤差不太對

你x公式中 有 a b

那就要帶一次誤差傳播定律

建議直接用a b C 表示三角形面積

在一次帶誤差傳播定律

也可以確保各個分量的獨立性

面積=100^2 *tan(a) tan(b)/2*(tan(a)+tan(b))

分別對 a b C 偏微分 帶入定律應該就對了吧 其中那個100是C拉 要先偏微分在帶入100

[acgn33]

差一個負號是鏈鎖率

Y=180-a-b

對a微分 ψF/ψa=(ψF/ψY)*(ψY/ψa)

其中 (ψY/ψa)=-1



另外我那個面積是由

(100-x)*tan(a)=x*tam(b)

可得x=100*tan(a)/tan(a)+tan(b)

又三角形面積=100*x*tan(b)/2=100^2*tan(a)*tan(b)/2*(tan(a)+tan(b))

然後對abC 分別偏為求答案

如果把這個做法的面積同乘cos(a)cos(b) 在做一下轉換 兩種方式的面積是一模一樣的