土木人

距離AB分別由甲乙2組人員觀測結果如下:甲組 AB=48.994`+-`0.008m 乙組 AB=49.003`+-`0.004m 請求AB之最或是值及最或是值中誤差?
解一: (直接觀測平差)
P甲:P乙=1/(`0.008^2`) : 1/(`0.004^2`) = 1 : 4
AB最或是值=`(1*48.994+4*49.003)/(1+4)`=49.001 m
得v甲=0.007 m v乙=(- 0.002) m
AB最或是值中誤差=`+-`{[1*`0.007^2`+4*`(-0.002)^2`]/(5*1)}^(1/2)=`+-`(0.004) m

解二: (誤差傳播平差)
P甲:P乙=1/(`0.008^2`) : 1/(`0.004^2`) = 1 : 4
AB最或是值=`(1*48.994+4*49.003)/(1+4)`=49.001 m
AB最或是值中誤差=`+-`{[`(1/5)^2`*`(0.008)^2`+`(4/5)^2`*`(0.004)^2`]}^(1/2)=`+-`(0.004) m

解三:(誤差傳播平差-單位權觀念)
P甲:P乙=1/(`0.008^2`) : 1/(`0.004^2`) = 1 : 4
AB最或是值=`(1*48.994+4*49.003)/(1+4)`=49.001 m
1 : 5 = 1/(`0.008^2`) : 1/(`MAB^2`)
得MAB(即AB最或是值中誤差)=`+-`{0.008/[`5^(1/2)`]}=`+-`(0.004) m


疑問:本題主要問題所在是所觀測的都是指同一個值,那該如何求AB之最或是值中誤差?究竟是要用解法一還是解法二還是解法三呢,請教板上各位大大,惠請賜教!先謝謝囉!

為了讓使用者更好閱讀，請參考本篇，多加的符號就可以變成直觀的數學公式。
http://bbs.civilgroup.org/viewtopic.php?t=196

1. 小數點可否多一點，才能看出答案之差異吧！
2. 您已經貼了好久了，怎麼還沒人過來搶答呢？

小數點為之取捨是以題目所給定之位數為主,取其下一位數四捨五入得,以本題為例:其答案有效位數為小數點以下取3位!

第1種的答案是後驗值。所謂答案的後驗中誤差（或標準誤差），就是根據實際取得之觀測數據，求出最或是值、殘差、捨棄不合格觀測量、重新計算…後，才得到之值。所反映的是該次實際觀測成果。

第2種的答案是先驗值。所謂答案的先驗中誤差（或標準誤差），就是在實際取得觀測數據之前，根據儀器說明書或先前之經驗值，以誤差傳播（有時還要矩陣運算）預估、推導而得到的答案中誤差。只和已知點、未知點、觀測量組成之網形架構有關，而與實際取得之觀測數據無關。

第3種的答案也是先驗值，其實就是第2種算式的進一步推導，但考試答題時建議還是寫第2種，而以第3種用來驗算。有概念的測量人員應在規劃階段，執行外業前，事先推估成果之精度；而不是盲目靠運氣來設計網形和觀測數量。否則有時精度太好，老闆會賠錢：精度太差，驗收將退件。

至於應該採用先驗或後驗中誤差，答案是：兩者皆可信（因皆有所本），但也不可偏信。舉例來說，用10秒讀之經緯儀測同一個角3次，所得3次之夾角完全相同，則計算後驗中誤差為0；但你真的相信您所測、您計算所得的這個角的平均值完全正確嗎？我勸您還是相信儀器說明書所載：測一次中誤差±20"，先驗中誤差=±20"/sqrt(3)≒±12"吧！。但如果您累積的觀測次數夠多，後驗中誤差也不是全無參考價值。兩者並列才是應行之道。

p.s.：其實在1、2、3種解法之外，還有第4種。

感謝jhc2大大的解惑,不過本題解題的關鍵不知是否在於所觀測的觀測值是否為"直接觀測值"或是"間接觀測值"的差別ㄋ(不曉的我的想法對不對?),就參考其他網站所提列的回答,供各位大大參考!
參考網址1:http://www.cadastralsurvey.org.tw/surveyor/UpFile/UpAttachment/2008-2/2008225215816.pdf
參考網址2:http://www.cadastralsurvey.org.tw/surveyor/ShowPost.asp?ThreadID=124
感謝各位大大的指教喔!

大多數人解本題時可能只用到先驗、後驗兩者之一，而且沒有發現兩者有無抵觸；您能想到本問題我很佩服，因為我也是在約兩個月前才剛思考到同樣的問題。

您所提供連結之「九十三年特種考試地方政府公務人員三等考試測量、地籍測量科」試題如下：

問：以A、B 兩種廠牌之經緯儀進行角度觀測，測量結果如下： A：24°13'36"±3.1"，B：24°13'24"±13.8"，試求該角度最或是值及其中誤差。（25 分）

解法：依照不等權直接觀測平差，作法如下：

項次　約化觀測值(l)　中誤差(σ)　權(p)　　　pl　　　v　　　　pv
------------------------------------------------------------------
甲　　　　36"　　　　 3.1"　　　0.104058　3.746　 +0.576　+0.060
乙　　　　24"　　　　13.8"　　　0.005251　0.126　-11.424　-0.060
------------------------------------------------------------------
累加　　　　　　　　　　　　　　[0.109309][3.872]　　　　　[0.000]

MPV = [pl]/[p] = 35.424" => 35.4" => 24°13'35.4"
說明：原提供之解未寫到小數1位，但其實觀測值已到小數1位，而答案是多個觀測值加權平均所得，精度比個別觀測值來的好（否則沒人要多測了），所以加權平均之答案的有效數字不宜比個別觀測值還少。

到此為止，各種方法答案都一致。但答案中誤差就有差異了：

1.後驗作法：繼續算出pvv

項次　約化觀測值(l)　中誤差(σ)　權(p)　　　pl　　　v　　　　pv　　　pvv
-----------------------------------------------------------------------------
甲　　　　36"　　　　 3.1"　　　0.104058　3.746 　+0.576　+0.060　0.034579
乙　　　　24"　　　　13.8"　　　0.005251　0.126　-11.424　-0.060　0.685241
-----------------------------------------------------------------------------
累加　　　　　　　　　　　　　　[0.109309][3.872]　　　　　[0.000][0.719820]

σ0 = sqrt([pvv] / (n-1)) = ±0.8484　　　　σ(L) = σ0 / sqrt([p]) = ±2.5662 => ±2.6"


2.先驗作法：使用「誤差傳播」或「權與中誤差平方成反比」，這兩種算法答案相同，且與觀測值大小無關，

σ(L) = ±3.0246 => ±3.0"


3.不曉得您有沒有發現，後驗σ(L) ＝ σ0 * 先驗σ(L)，如果此次觀測成果與儀器說明書（題目預估）相同，則σ0=1，
但就本題而言，實際觀測之精度比較好，誤差比較小一些，σ0 = ±0.8484，理想情形是σ0 = ±1.00。

說明：您提到「直接觀測值」或是「間接觀測值」對此有無影響？答案是：無關。因為不管直接或間接，都有σ0來檢驗該次觀測成果與儀器說明書（題目預估）之差異，只是少人提及σ0的這種內涵。言盡於此，我或許講太多了。

感謝jhc2大大的指教,不過我還是有點小問題:一般解題,如果題意沒特別說明,那究竟是要用後驗作法解題ㄋ?還是用先驗作法解題ㄋ?還是選精度較好的?(如果要選精度較好的,不就是2種作法都要些出來嗎?)

建議兩案併陳，再加說明。

1. 若一題20分或25分，多寫一些，再加說明，更顯完整。

2. 因為不宜盡信儀器規格，也不宜用少數觀測來拍板定案；所以用哪一種都有盲點。如您兩案併陳，相信會讓閱卷老師滿意的不得了。

jhc2大大,真是太感激您了!幾個月來的疑惑,終於一掃而空,謝謝您的詳細解說喔!