98結構技師材料力學第四題

[study1]

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座標系統:第四象限
`EIy^('')=-M=q/2(L-x)^2+P(delta-y)`
`令lambda^2=P/(EI);Q=q/(2EI)=constant`
`y^('')+lambda^2y=Q(L^2-2Lx+x^2)+lambda^2delta`
齊性解`y_h`
`y_h=C_1cos(lambdax)+C_2sin(lambdax)`
特解`y_p`
`y_p=Q(x^2/lambda^2-(2Lx)/lambda^2+L^2/lambda^2)+(delta-(2Q)/lambda^4)`
`y(x)=C_1cos(lambdax)+C_2sin(lambdax)+Q(x^2/lambda^2-(2Lx)/lambda^2+L^2/lambda^2)+(delta-(2Q)/lambda^4)`
邊界條件:
`BC_1:y(0)=0`
`=>C_1+(QL^2)/lambda^2+(delta-(2Q)/lambda^4)=0.........(1)`
`BC_2:y^'(0)=0`
`=>C_2=(2QL)/lambda^3.......(2)`
`BC_3:y(L)=delta`
`C_1cos(lambdax)+C_2sin(lambdax)=(2Q)/lambda^4...........(3)`
`由(1)(2)(3)式解得`
`C_1=1/(cos(lambdaL))[(2Q)/lambda^4-(2QLsin(lambdaL))/lambda^3]`
`C_2=(2QL)/lambda^3`
`delta=-(QL^2)/lambda^2+(2Q)/lambda^4-1/(cos(lambdaL))[(2Q)/lambda^4-(2QLsin(lambdaL))/lambda^3]`
`將C_1,C_2,delta代入y(x)中`
得到`y(x)=cos(lambdax)/(cos(lambdaL))[(2Q)/lambda^4-(2QLsin(lambdaL))/lambda^3]+(2QL)/lambda^3sin(lambdax)+Q/lambda^2(x^2-2Lx)-1/(cos(lambdaL))[(2Q)/lambda^4-(2QLsin(lambdaL))/lambda^3].........Ans(1)`
`(1)(2)(3)式寫成矩矩陣式`
`[(1,0,1),(0,1,0),(cos(lambdaL),sin(lambdax),0)][(C_1),(C_2),(delta)]=[((-QL^2)/lambda^2+(2Q)/lambda^4),((2QL)/lambda^3),((2Q)/lambda^4)]`
`[(C_1),(C_2),(delta)]!=[0] :.|(1,0,1),(0,1,0),(cos(lambdaL),sin(lambdax),0)|=0`
`=>cos(lambdaL)=0=>lambdaL=(npi)/2 n=1,3,5....`
取最小值`n=1``=>lambdaL=(pi)/2=>lambda=(pi)/(2L)`
`=>lambda^2=(pi^2)/(4L^2)=P/(EI)`
`=>P_cr=(pi^2EI)/(4L^2)................Ans(2)`

[laimaddux31]

建議你第二步驟不要代Q=`(q)/(2EI)`
不然橈度方程式會更複雜...
而且你的特解`y_p`應該是`y_p=(q*(L-X)^2)/(2P)+delta`
若是Q=`(q)/(2EI)`,則`y_P=Q/(lambda^2)*(L^2-2LX+X^2)+delta`
所以橈度方程式經整理後如下
y(X)=`q/p*[L/(lambda)*{sin(lambda*X)+tan(lambda*L)*(1-cos(lambda*X))}-LX+(X^2)/2]`
以上共參考

[study1]

建議你第二步驟不要代Q=`(q)/(2EI)`
不然橈度方程式會更複雜...
而且你的特解`y_p`應該是`y_p=(q*(L-X)^2)/(2P)+delta`
若是Q=`(q)/(2EI)`,則`y_P=Q/(lambda^2)*(L^2-2LX+X^2)+delta`
所以橈度方程式經整理後如下
y(X)=`q/p*[L/(lambda)*{sin(lambda*X)+tan(lambda*L)*(1-cos(lambda*X))}-LX+(X^2)/2]`
以上共參考

L大
我帶過你的`y_p`似乎有點不合
能否請L大自己代代看

[laimaddux31]

更正特解`y_p=q/(2P)*(L-X)^2+delta-q/(lambda^2*P)`
`delta=q/P*[-L/(lambda)*sin(lambda*L)+sec(lambda*L)/(lambda^2)+(L^2)/2-lambda^(-2)]`
y(X)=`q/P*[L/(lambda)*sin(lambda*X)+(-L/(lambda)*sin(lambda*L)+sec(lambda*L)/(lambda^2)+(L^2)/2-lambda^(-2))*cos(lambda*X)-L/(lambda)*sin(lambda*L)+sec(lambda*L)/(lambda^2)-2*lambda^(-2)+(X^2-2LX)/2+L^2]`

[study1]

更正特解`y_p=q/(2P)*(L-X)^2+delta-q/(lambda^2*P)`
`delta=q/P*[-L/(lambda)*sin(lambda*L)+sec(lambda*L)/(lambda^2)+(L^2)/2-lambda^(-2)]`
y(X)=`q/P*[L/(lambda)*sin(lambda*X)+(-L/(lambda)*sin(lambda*L)+sec(lambda*L)/(lambda^2)+(L^2)/2-lambda^(-2))*cos(lambda*X)-L/(lambda)*sin(lambda*L)+sec(lambda*L)/(lambda^2)-2*lambda^(-2)+(X^2-2LX)/2+L^2]`

可否請L大 列出計算過成出來
互相討論 教學相長

[laimaddux31]

這題要列示 很耗時間
不過還是簡要的補充列式
`y''+P/(EI)*y=(q(L-X)^2)/(2EI)+(p*delta)/(EI)`
令`lambda^2=P/(EI)`
`y''+lambda^2*y=(q(L-X)^2)/(2EI)+lambda^2*delta`
齊次解`y_h=Asin(lambda*X)+Bcos(lambda*X)`
特解`y_p=q/(2P)*(L-X)^2+delta-q/(lambda^2*P)``
y(X)=`Asin(lambda*X)+Bcos(lambda*X)+q/(2P)*(L-X)^2+delta-q/(lambda^2*P)`
B.C.
y(0)=0`=>B=-(qL^2)/(2P)+q/(lambda^2*P)-delta`
y'(0)=0`=>A=(q*L)/(lambda*P)`
y(L)=`(q*L)/(lambda*P)*sin(lambda*L)+(-(qL^2)/(2P)+q/(lambda^2*P)-delta)*cos(lambda*L)+delta-q/(lambda^2*P)=delta`
`delta=q/P*(L/(lambda)*tan(lambda*L)+lambda^(-2)*(1-sec(lambda*L))-(L^2)/2)`
y(X)=`q/P*(L/(lambda)*sin(lambda*X)+(L/(lambda)*tan(lambda*L)-lambda^(-2)*sec(lambda*L))*(cos(lambda*X)+1)+X^2//2-LX)`

`P_(cr)=(pi^2*EI)/(2L)^2`
另外,感謝S大的提點,讓我知道錯在特解`y_p`
以上若有錯,再多指教囉

[study1]

y(X)=`q/P*(L/(lambda)*sin(lambda*X)+(L/(lambda)*tan(lambda*L)-lambda^(-2)*sec(lambda*L))*(cos(lambda*X)+1)+X^2//2-LX)`
你的`A,B,delta`與我的整理後是一樣的
而`y(x)`似乎`A,B,delta`代入後有問題

[laimaddux31]

y(X)=`q/P*(L/(lambda)*sin(lambda*X)+(L/(lambda)*tan(lambda*L)-lambda^(-2)*sec(lambda*L))*(cos(lambda*X)+1)+X^2//2-LX)`
你的`A,B,delta`與我的整理後是一樣的
而`y(x)`似乎`A,B,delta`代入後有問題

以上是指什麼問題呢(咦)
可否賜教,謝謝~!!!

[study1]

以上是指什麼問題呢(咦)
可否賜教,謝謝~!!!

將你的y(x)代回你的統御方程式中 似乎有點湊不太起來
不知道是我計算過成有錯還是....

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