工程數學 [高階ODE][逆運算式子]

[Xavier]

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話說Oliver Heaviside (1850~1925)英國電機工程師，將微分運算子d/dx 當作P，代入ODE終將ODE轉變成代數方程式求解，得到非常簡單的高階微分的運算方式，也讓很多複雜的工程數學問題得到更快速的解法。 Heaviside目前是近代算是在工程數學上發現公式最卓越的，而Heaviside的反微分運算子與Lapace transform、Fourier transform三大轉換為目前所有學習工程數學所不能不背到滾瓜爛熟，但有些原文書沒有採用此套方法，因為有些數學家認為此解法不嚴謹，所以有些教授對此解法不知，所以考研究所時要斟酌，但微分運算子法 ( method of differential operator )」的優點是算解 ( particular solution ) 的速度很快！

面對下列題目的積分問題時，一般可以用較傳統的解法，像是 公式∫ＵｄＶ＝ＵＶ－∫ＶｄＵ(部分積分)或用補習老師交的逆微分運算子( method of differential operator )或是在考工程數學時，把公式背起來，增加速度。

積分公式：

　　∫eat cos bt dt＝[ eat／( a2＋b2 ) ]( a cos bt＋b sin bt )＋c
　　

　　∫eat sin bt dt＝[ eat／( a2 ＋b2 ) ]( a sin bt－b cos bt )＋c



例題：∫(sinx)(e2x) dx

＝１／Ｄ*(sinx e2x)　

＝e2x／（Ｄ＋２）*sinx

【同乘１＝（Ｄ－２）／（Ｄ－２）】

＝e2x（Ｄ－２）／（Ｄ2－４）*sinx

＝e2x（Ｄ－２）／－５*sinx

＝－ｅ2x／５*（Ｄ－２）*sinx

＝－ｅ2x／５*（ｃｏｓｘ－２ｓｉｎｘ）

＝ｅ２ｘ (２ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ）／５＋Ｃ



例題：∫(cos2x)(ex) dx

＝１／Ｄ*［cos2x ex］　

＝ex／（Ｄ＋1）*cos2x

【同乘１＝（Ｄ－1）／（Ｄ－1）】

＝ex（Ｄ－1）／（Ｄ2－1）*cos2x

＝ex（Ｄ－1）／－５*cos2x

＝－ｅx／５*（Ｄ－1）*cos2x

＝－ｅx／５*（-ｃｏｓ2ｘ－2ｓｉｎ2ｘ）

＝ｅｘ (２ｓｉｎ2ｘ＋ｃｏｓ2ｘ）／５＋Ｃ＃＃



【有人說這方法大多要背公式，我是覺得理解就ＯＫ了! 逆微分運算子有時很方便，但也不是無敵，像是也可以用來解高階ODE，也不錯，但要看題目!!】



註：其實也可以用部分積分解，不用代公式就是一邊微分，一邊積分

∫(cos2x)(ex) dx=∫M N dx，我選ex微分，sin2x積分

【微分】 　　　 　　【積分】

(ex) ↘（相乘） 　　　 cos2x

(ex) ↘（相乘且乘－１） sin2x／２

(ex) 　→（積分∫） －cos2x／４



【整理得】

∫(cos2x)(ex) dx= (sin2xex) ／２＋(cos2x)(ex)／４

- ∫(cos2xx)(ex)／4 dx

移項→5∫(cos2x)(ex)／４ = (sin２x)(ex) /2＋(cos２x)(ex)
→∫(sinx)(ex) = ４/5*[(sin２x)(ex) ／２

＋(cos２x)(ex) ／４]
=(ex) [2sin2x ＋cos2x] / 5＋Ｃ＃＃

題目：求摺積et＊cos 2t＝？

sol：

（法一）
　　convolution 積分：ƒ(t) * g(t) =∫ƒ(v)g( t - v)dv積分範圍：0 ～ t

　　et * cos 2t =∫cos 2v‧et e-v dv　　　　　

= et∫e-vcos2vdv【帶入上述公式】
　　= et [ (e-v／5 )( - cos 2v＋2sin 2ｖ) ]
= (et／5 )( - e-tcos 2t＋2 e-t sin 2t＋1 )
　　= ( 1／5 )( et －cos 2t ＋2sin 2t )
　　→et＊cos 2t = ( et －cos 2t＋2sin2t)／５＃



（法二）

直接拉式轉換得

→１／（s－1）*s／（s2＋４）＝s／[(s2＋４）(s－1）]

＝(As+B) ／(s2＋４)＋C／(s－1）

【說明：s／[(s2＋４）(s－1）]＝(As+B) ／(s2＋４)＋C／(s－1），

S=(As+B) (s－1）＋C(s2＋４)，當(s－1）=0時，s=1，帶入得C=1／５

同理當(s2＋４)=0時，s2 ＝－４，帶入得(As+B)＝S／(s－1）

同乘1＝(s＋1）／(s＋1），(As+B)＝s2＋s／(s2－１），已知s2 ＝－４

，(As+B)＝(ｓ－４)／－5，得Ａ＝－１／５，Ｂ＝４／５】

→１／５[1／(s－1）＋－s＋4／(s2＋４)】

£{１／５[1／(s－1）＋－s＋4／(s2＋４)﹞

＝１／５［et－cos2t＋２sin2t］＃



相關網址分享：

http://bowie.mech.nagasaki-u.ac.jp/sai/ ... /TeXT.html（一間日本大學）

http://www.myoops.org/twocw/mit/Mathema ... /index.htm　（麻省理工大學）

本文轉錄
http://tw.myblog.yahoo.com/trippen-ntut ... &l=a&fid=5
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如果想列印下來的話
建議可以下載這邊的
工數高階ode
https://skydrive.live.com/?cid=67bad8e9 ... 37371D!152
逆運算法(Inverse Operator Method)
http://dragon.ccut.edu.tw/~estes/Engine ... atics1.htm

算出來的速度真的是快上許多 求柱得用逆運算來算也非常好用

[紫煌]

微分運算子法 ( method of differential operator )」的優點是算解 ( particular solution ) 的速度很快！

面對下列題目的積分問題時，一般可以用較傳統的解法，像是 公式∫ＵｄＶ＝ＵＶ－∫ＶｄＵ(部分積分)或用補習老師交的逆微分運算子( method of differential operator )或是在考工程數學時，把公式背起來，增加速度。

算出來的速度真的是快上許多 求柱得用逆運算來算也非常好用

確實，對結構技師考生而言，
此法解國考結構動力學的「週期函數」非常好用，也很快速
（另外一個是杜氏積分）