該用直接觀測平差或是誤差傳播平差方式求最或是值及最或是值中誤差呢?

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▼ 參考資料

距離AB分別由甲乙2組人員觀測結果如下:甲組 AB=48.994`+-`0.008m 乙組 AB=49.003`+-`0.004m 請求AB之最或是值及最或是值中誤差?
解一: (直接觀測平差)
P甲:P乙=1/(`0.008^2`) : 1/(`0.004^2`) = 1 : 4
AB最或是值=`(1*48.994+4*49.003)/(1+4)`=49.001 m
得v甲=0.007 m v乙=(- 0.002) m
AB最或是值中誤差=`+-`{[1*`0.007^2`+4*`(-0.002)^2`]/(5*1)}^(1/2)=`+-`(0.004) m

解二: (誤差傳播平差)
P甲:P乙=1/(`0.008^2`) : 1/(`0.004^2`) = 1 : 4
AB最或是值=`(1*48.994+4*49.003)/(1+4)`=49.001 m
AB最或是值中誤差=`+-`{[`(1/5)^2`*`(0.008)^2`+`(4/5)^2`*`(0.004)^2`]}^(1/2)=`+-`(0.004) m

解三:(誤差傳播平差-單位權觀念)
P甲:P乙=1/(`0.008^2`) : 1/(`0.004^2`) = 1 : 4
AB最或是值=`(1*48.994+4*49.003)/(1+4)`=49.001 m
1 : 5 = 1/(`0.008^2`) : 1/(`MAB^2`)
得MAB(即AB最或是值中誤差)=`+-`{0.008/[`5^(1/2)`]}=`+-`(0.004) m


疑問:本題主要問題所在是所觀測的都是指同一個值,那該如何求AB之最或是值中誤差?究竟是要用解法一還是解法二還是解法三呢,請教板上各位大大,惠請賜教!先謝謝囉!

[sandaniel.tw]

為了讓使用者更好閱讀，請參考本篇，多加的符號就可以變成直觀的數學公式。
http://bbs.civilgroup.org/viewtopic.php?t=196

[jhc2]

1. 小數點可否多一點，才能看出答案之差異吧！
2. 您已經貼了好久了，怎麼還沒人過來搶答呢？

[Curver]

小數點為之取捨是以題目所給定之位數為主,取其下一位數四捨五入得,以本題為例:其答案有效位數為小數點以下取3位!

[jhc2]

第1種的答案是後驗值。所謂答案的後驗中誤差（或標準誤差），就是根據實際取得之觀測數據，求出最或是值、殘差、捨棄不合格觀測量、重新計算…後，才得到之值。所反映的是該次實際觀測成果。

第2種的答案是先驗值。所謂答案的先驗中誤差（或標準誤差），就是在實際取得觀測數據之前，根據儀器說明書或先前之經驗值，以誤差傳播（有時還要矩陣運算）預估、推導而得到的答案中誤差。只和已知點、未知點、觀測量組成之網形架構有關，而與實際取得之觀測數據無關。

第3種的答案也是先驗值，其實就是第2種算式的進一步推導，但考試答題時建議還是寫第2種，而以第3種用來驗算。有概念的測量人員應在規劃階段，執行外業前，事先推估成果之精度；而不是盲目靠運氣來設計網形和觀測數量。否則有時精度太好，老闆會賠錢：精度太差，驗收將退件。

至於應該採用先驗或後驗中誤差，答案是：兩者皆可信（因皆有所本），但也不可偏信。舉例來說，用10秒讀之經緯儀測同一個角3次，所得3次之夾角完全相同，則計算後驗中誤差為0；但你真的相信您所測、您計算所得的這個角的平均值完全正確嗎？我勸您還是相信儀器說明書所載：測一次中誤差±20"，先驗中誤差=±20"/sqrt(3)≒±12"吧！。但如果您累積的觀測次數夠多，後驗中誤差也不是全無參考價值。兩者並列才是應行之道。

p.s.：其實在1、2、3種解法之外，還有第4種。

[Curver]

感謝jhc2大大的解惑,不過本題解題的關鍵不知是否在於所觀測的觀測值是否為"直接觀測值"或是"間接觀測值"的差別ㄋ(不曉的我的想法對不對?),就參考其他網站所提列的回答,供各位大大參考!
參考網址1:http://www.cadastralsurvey.org.tw/surveyor/UpFile/UpAttachment/2008-2/2008225215816.pdf
參考網址2:http://www.cadastralsurvey.org.tw/surveyor/ShowPost.asp?ThreadID=124
感謝各位大大的指教喔!

[jhc2]

大多數人解本題時可能只用到先驗、後驗兩者之一，而且沒有發現兩者有無抵觸；您能想到本問題我很佩服，因為我也是在約兩個月前才剛思考到同樣的問題。

您所提供連結之「九十三年特種考試地方政府公務人員三等考試測量、地籍測量科」試題如下：

問：以A、B 兩種廠牌之經緯儀進行角度觀測，測量結果如下： A：24°13'36"±3.1"，B：24°13'24"±13.8"，試求該角度最或是值及其中誤差。（25 分）

解法：依照不等權直接觀測平差，作法如下：

項次　約化觀測值(l)　中誤差(σ)　權(p)　　　pl　　　v　　　　pv
------------------------------------------------------------------
甲　　　　36"　　　　 3.1"　　　0.104058　3.746　 +0.576　+0.060
乙　　　　24"　　　　13.8"　　　0.005251　0.126　-11.424　-0.060
------------------------------------------------------------------
累加　　　　　　　　　　　　　　[0.109309][3.872]　　　　　[0.000]

MPV = [pl]/[p] = 35.424" => 35.4" => 24°13'35.4"
說明：原提供之解未寫到小數1位，但其實觀測值已到小數1位，而答案是多個觀測值加權平均所得，精度比個別觀測值來的好（否則沒人要多測了），所以加權平均之答案的有效數字不宜比個別觀測值還少。

到此為止，各種方法答案都一致。但答案中誤差就有差異了：

1.後驗作法：繼續算出pvv

項次　約化觀測值(l)　中誤差(σ)　權(p)　　　pl　　　v　　　　pv　　　pvv
-----------------------------------------------------------------------------
甲　　　　36"　　　　 3.1"　　　0.104058　3.746 　+0.576　+0.060　0.034579
乙　　　　24"　　　　13.8"　　　0.005251　0.126　-11.424　-0.060　0.685241
-----------------------------------------------------------------------------
累加　　　　　　　　　　　　　　[0.109309][3.872]　　　　　[0.000][0.719820]

σ0 = sqrt([pvv] / (n-1)) = ±0.8484　　　　σ(L) = σ0 / sqrt([p]) = ±2.5662 => ±2.6"


2.先驗作法：使用「誤差傳播」或「權與中誤差平方成反比」，這兩種算法答案相同，且與觀測值大小無關，

σ(L) = ±3.0246 => ±3.0"


3.不曉得您有沒有發現，後驗σ(L) ＝ σ0 * 先驗σ(L)，如果此次觀測成果與儀器說明書（題目預估）相同，則σ0=1，
但就本題而言，實際觀測之精度比較好，誤差比較小一些，σ0 = ±0.8484，理想情形是σ0 = ±1.00。

說明：您提到「直接觀測值」或是「間接觀測值」對此有無影響？答案是：無關。因為不管直接或間接，都有σ0來檢驗該次觀測成果與儀器說明書（題目預估）之差異，只是少人提及σ0的這種內涵。言盡於此，我或許講太多了。

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感謝jhc2大大的指教,不過我還是有點小問題:一般解題,如果題意沒特別說明,那究竟是要用後驗作法解題ㄋ?還是用先驗作法解題ㄋ?還是選精度較好的?(如果要選精度較好的,不就是2種作法都要些出來嗎?)

[jhc2]

建議兩案併陳，再加說明。

1. 若一題20分或25分，多寫一些，再加說明，更顯完整。

2. 因為不宜盡信儀器規格，也不宜用少數觀測來拍板定案；所以用哪一種都有盲點。如您兩案併陳，相信會讓閱卷老師滿意的不得了。

[Curver]

jhc2大大,真是太感激您了!幾個月來的疑惑,終於一掃而空,謝謝您的詳細解說喔!

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